<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1"><Font encoding="ISO8859-1">6. Eigenwerttheorie, Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenr\344ume, charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit</Font></Text-field><Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" italic="true">6.1. Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren:</Font></Text-field>Um ausschlie\337lich die Eigenwerte einer nxn-dimensionalen Matrix A zu bestimmen, steht in Maple die Funktion "Eigenvalues(A)" zur Verf\374gung, die im Paket "LinearAlgebra" enthalten ist. Alternativ gibt es auch die Funktion "eigenvalues(A)" im Paket "linalg". Im Ergebnis werden die verschiedenen Eigenwerte in einem Vektor zur\374ckgegeben. Beispiel (f\374r n=2):with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[1,4],[2,3]]):
Eigenvalues(A);Es besteht aber auch die M\366glichkeit sich sowohl die Eigenwerte als auch die zugeh\366rigen Eigenvektoren einer nxn-dimensionalen Matrix A ausgeben zu lassen. Dies geschieht mit der Funktion "Eigenvectors(A)" (bzw. "eigenvectors(A)"). Dabei ist das erste Ausgabeargument ein n-dimensionaler Vektor, der von oben nach unten die n verschiedenen Eigenwerte enth\344lt, und das zweite Ausgabeargument eine nxn-dimensionale Matrix, die von links nach rechts die n zugeh\366rigen Eigenvektoren enth\344lt. Beispiel (f\374r n=2):with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[1,4],[2,3]]):
Eigenvectors(A);Aufgaben: Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen
a) (3,-1), (1,1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) b) (1,-1), (2,-1) (Vektoren sind Zeilenvektoren)
c) (4,0,-2), (1,3,-2), (1,2,-1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) d) (1/3,2/3,2/3), (2/3,-2/3,1/3), (2/3,1/3,-2/3) (Vektoren sind Zeilenvektoren)<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" italic="true">6.2. Charakteristisches Polynom und charakteristische Matrix:</Font></Text-field>Das charakteristische Polynom einer nxn-dimensionalen Matrix A erhalten wir mithilfe der Funktion "CharacteristicPolynomial(A,lambda)" (bzw. "charpoly(A,lambda)"). Dieses l\344sst sich mit dem Befehl "factor()" auch in Linearfaktoren zerlegen, so dass man die Eigenwerte ablesen kann. Beispiel:with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[1,4],[2,3]]):
CharacteristicPolynomial(A,lambda);
factor(%);F\374r die (schriftliche) Berechnung des charakteristischen Polynoms muss grunds\344tzlich zun\344chst die charakteristische Matrix aufgestellt werden. Diese l\344sst sich mithilfe der Funktionen "CharacteristicMatrix(A,lambda)" (bzw. "charmat(A,lambda)") erzeugen. Beispiel:with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[1,4],[2,3]]):
CharacteristicMatrix(A,lambda);Aufgaben: Berechne das charakteristische Polynom der folgenden Matrizen
a) (3,-1), (1,1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) b) (1,-1), (2,-1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) c) (4,0,-2), (1,3,-2), (1,2,-1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) d) (1/3,2/3,2/3), (2/3,-2/3,1/3), (2/3,1/3,-2/3) (Vektoren sind Zeilenvektoren)<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" italic="true">6.3. Minimalpolynom:</Font></Text-field>Das Minimalpolynom einer nxn-dimensionalen Matrix A erhalten wir mithilfe der Funktion "Minimalpolynomial(A,lambda)" (bzw. "minpoly(A,lambda)"). Dieses l\344sst sich wieder mit dem Befehl "factor()" in Linearfaktoren zerlegen, so dass man die Eigenwerte ablesen kann. Beispiel:with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[1,2,3],[2,1,3],[3,3,6]]):
MinimalPolynomial(A,lambda);
factor(%);Aufgaben: Berechne das Minimalpoynom der folgenden Matrizen a) (2,1,-2,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1), (1,0,0,0) (Vektoren sind Zeilenvektoren)
b) (2,1,0,0), (0,2,0,0), (0,0,1,1), (0,0,-2,4) (Vektoren sind Zeilenvektoren) c) (1,0,0,1,0,0), (1,1,1,1,0,0), (-1,-1,1,-1,0,0), (-1,0,0,1,0,0), (0,0,0,-2,0,1), (0,0,0,2,-4,-4) (Vektoren sind Zeilenvektoren) d) (0,1,0,1,0,0,0), (0,1,0,1,0,0,0), (3,2,2,3,0,0,0), (0,1,0,1,0,0,0), (0,0,0,0,1,2,3), (0,0,0,0,2,1,3), (0,0,0,0,3,3,6) (Vektoren sind Zeilenvektoren)Wir wissen, dass zwei \344hnliche Matrizen dasselbe Minimalpolynom besitzen. Bestimme das Minimalpolynom der folgenden zwei Matrizen und pr\374fe anschlie\337end, ob die Matrizen \344hnlich sind (siehe dazu Kapitel 3)
e) A: (1,3,0), (0,2,0), (0,0,1) (Vektoren sind Zeilenvektoren)
B: (2,0,0), (0,2,5), (0,0,1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) f) A: (0,1,2,4), (-1,0,3,1), (0,0,0,1), (0,0,-1,0) (Vektoren sind Zeilenvektoren)
B: (-3,0,1,3), (-2,1,1,1), (-3,-2,0,4), (-3,1,1,2) (Vektoren sind Zeilenvektoren)<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" italic="true">6.4. Eigenraum:</Font></Text-field>with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[2,1],[-1,2]]);
(lambda,P):=Eigenvectors(A);
E1 := A-lambda[1]*IdentityMatrix(2):
E2 := A-lambda[2]*IdentityMatrix(2):
Eigenraum('A','lambda[1]'):=NullSpace(E1);
Eigenraum('A','lambda[2]'):=NullSpace(E2);<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" italic="true">6.4. Diagonalisierbarkeit:</Font></Text-field>In diesem Abschnitt behandeln wir Beispiele zum Thema Diagonalisierbarkeit und werden dazu verschiedene \344quivalente Kriterien testen.
Erinnerung: Sei A eine quadratische nxn-Matrix \374ber dem K\366rper K. Dann sind die folgenden Aussagen \344quivalent: (1): A ist diagonalisierbar \374ber K (2): K^n besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von A (3): Das charakteristische Polynom zerf\344llt \374ber K in Linearfaktoren und f\374r jeden Eigenwert lambda von A ist seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit (4): Das Minimalpolynom zerf\344llt \374ber K in paarweise verschiedene Linearfaktoren (5): Der K^n ist die direkte Summe der Eigenr\344ume von A
Weiter gilt:
(a): Jede reelle symmetrische Matrix ist \374ber IR diagonalisierbar
(b): Jede hermitesche Matrix ist \374ber IC diagonalisierbarZun\344chst untersuchen wir, ob die Matrix ((5,-6,-6), (-1,4,2), (3,-6,-4)) (Vektoren sind Zeilenvektoren) diagonalisierbar \374ber IR ist:Kriterium (2):with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[5,-6,-6],[-1,4,2],[3,-6,-4]]);
(lambda, Eigenvektoren) := Eigenvectors(A);
Rank(Eigenvektoren);
(=> Dimension der Eigenvektoren=3 => Eigenvektoren bilden Basis vom IR^3)Kriterium (3):with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[5,-6,-6],[-1,4,2],[3,-6,-4]]):
CharacteristicPolynomial(A,lambda); (Berechne das charakteristische Polynom)
factor(%); (Berechne die Nullstellen des charakteristischen Polynoms)
(=> Charakteristisches Polynom zerf\344llt in Linearfaktoren \374ber IR)
(Weiter ist lambda=1 Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 1 und lambda=2 Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2)
lambda[1]:=1:
lambda[2]:=2:
E1 := A-lambda[1]*IdentityMatrix(3):
E2 := A-lambda[2]*IdentityMatrix(3):
Eigenraum('A','lambda[1]'):=NullSpace(E1);
Eigenraum('A','lambda[2]'):=NullSpace(E2);
(1. => Eigenraum zu lambda=1 hat Dimension 1 => geometrische Vielfachheit ist 1 => algebraische Vielfachheit=geometrische Vielfachheit=1)
(2. => Eigenraum zu lambda=2 hat Dimension 2 => geometrische Vielfachheit ist 2 => algebraische Vielfachheit=geometrische Vielfachheit=2)Kriterium (4):with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[5,-6,-6],[-1,4,2],[3,-6,-4]]):
MinimalPolynomial(A,lambda); (Berechne das Minimalpolynom)
factor(%);
(=> Minimapolynom ist in 2 verschiedene Linearfaktoren \374ber IR zerfallen)Das Kriterium (5) sparen wir uns an dieser Stelle. Wegen der \304quivalenz ist (1) erf\374llt, d.h. A ist diagonalisierbar \374ber IR.Man beachte, dass die Transformationsmatrix P gerade aus den Eigenvektoren besteht und es gilt P^(-1)AP=diag(lambda[1],...,lambda[n]). Beispiel:with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[5,-6,-6],[-1,4,2],[3,-6,-4]]);
(lambda, P) := Eigenvectors(A):
'P' = P;
'P^{-1}' = MatrixInverse(P);
Multiply(Multiply(MatrixInverse(P),A),P);<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" italic="true">6.5. Trigonalisierbarkeit:</Font></Text-field>In diesem Abschnitt behandeln wir zwei Beispiele zum Thema Trigonalisierbarkeit und werden dazu verschiedene \344quivalente Kriterien testen.
Erinnerung: Sei A eine quadratische nxn-Matrix \374ber dem K\366rper K. Dann sind die folgenden Aussagen \344quivalent:
(1): A ist triangulierbar (trigonalisierbar) \374ber K
(2): Das charakteristische Polynom zerf\344llt \374ber K in Linearfaktoren
(3): Das Minimalpolynom zerf\344llt \374ber K in Linearfaktoren
Weiter gilt:
(a): A diagonalisierbar => A trigonalisierbarZun\344chst untersuchen wir, ob die Matrix ((-2,1,-3), (2,1,-1), (-7,2,7)) (Vektoren sind Zeilenvektoren) trigonalisierbar \374ber IR ist:Kriterium (2):restart:
with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[-2,1,3],[2,1,-1],[-7,2,7]]);
CharacteristicPolynomial(A,lambda); (Berechne das charakteristische Polynom)
factor(%); (Berechne die Nullstellen des charakteristischen Polynoms)Kriterium (3):with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[-2,1,3],[2,1,-1],[-7,2,7]]):
MinimalPolynomial(A,lambda); (Berechne das Minimalpolynom)
factor(%);